Como provar que a série é convergente?

Responda:

Converge pelo Teste de Comparação Direta.

Explicação:

Podemos usar o Teste de Comparação Direta, na medida em que temos

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, a série começa em um.

Para usar o Teste de Comparação Direta, temos que provar que # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # é positivo em # 1, oo) #.

Primeiro, note que no intervalo # 1, oo), cos (1 / k) # é positivo. Para valores de #x # cosx # está no primeiro quadrante (e, portanto, positivo). Bem, por #k> = 1, 1 / k assim, #cos (1 / k) # é de fato positivo.

Além disso, podemos dizer #cos (1 / k) <= 1 #, Como #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Então, podemos definir uma nova sequência

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # para todos # k. #

Bem, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Sabemos que isso converge pelo # p- #teste de série, é na forma # sum1 / k ^ p # Onde # p = 2> 1 #.

Então, como a série maior converge, o mesmo deve acontecer com as séries menores.

Responda:

Converge pelo teste de comparação direta (veja abaixo para detalhes).

Explicação:

Reconheça que o intervalo de cosseno é -1,1. Confira o gráfico de #cos (1 / x) #:

gráfico {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Como você pode ver, o máximo O valor que isso alcançará será 1. Já que estamos tentando provar a convergência aqui, vamos definir o numerador como 1, deixando:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Agora, isso se torna um problema de teste de comparação direta muito simples. Lembre-se do que o teste de comparação direta faz:

Considere uma série arbitrária #a# (não sabemos se converge / diverge), e uma série para a qual sabemos a convergência / divergência, # b_n #:

E se #b_n> a_n # e # b_n # converge, então #a# também converge.

E se #b_n <a_n # e # b_n # diverge, então #a# também diverge.

Podemos comparar esta função para #b_n = 1 / k ^ 2 #. Podemos fazer isso porque sabemos que converge (por causa do teste p).

Então, desde # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #e # 1 / k ^ 2 # converge, podemos dizer que o série converge

Mas espere, nós só provamos que esta série converge quando o numerador = 1. E quanto a todos os outros valores #cos (1 / k) # Poderia levar? Bem, lembre-se que 1 é o máximo valor que o numerador poderia receber. Portanto, como já provamos que isso converge, comprovamos indiretamente que essa série convergiu para qualquer valor no numerador.

Espero que tenha ajudado:)