Qual é a integral de xcos (x)?

Você usa a ideia da integração por partes:

#int uv'dx = uv - intu'vdx #

#intx cosxdx = #

Deixei:

#u = x #

#u '= 1 #

#v '= cosx #

#v = sinx #

Então:

#intx cosxdx = xsinx - int 1 * senxdx = xsinx - (-cosx) = xsinx + cosx #

A integral é:

# x * sin (x) + cos (x) + c #

Você pode obter esse resultado Integrando por partes.

Em geral, se você tem o produto de duas funções #f (x) * g (x) # você pode tentar este método em que você tem:

#intf (x) * g (x) dx = F (x) * g (x) -intF (x) * g '(x) dx #

A integral do produto das duas funções é igual ao produto da integral (#F (x) #) das primeiras vezes a segunda função (#g (x) #) menos a integral do produto da integral da primeira função (#F (x) #) vezes a derivada da segunda função (#g '(x) #). Espero que a última integral seja mais fácil de resolver do que a inicial !!!

No seu caso você tem (você pode escolher qual é #f (x) # para ajudá-lo a tornar a solução mais fácil):

#f (x) = cos (x) #

#g (x) = x #

#F (x) = sin (x) #

#g '(x) = 1 #

E finalmente:

# intx * cos (x) dx = x * sen (x) -int1 * sen (x) dx = x * sen (x) + cos (x) + c #

Agora você pode verificar sua resposta derivando esse resultado.