Quais são os extremos absolutos de f (x) = x ^ (1/3) * (20-x) em [0,20]?

Responda:

O mínimo absoluto é #0#, que ocorre em #x = 0 # e # x = 20 #.

O máximo absoluto é # 15root (3) 5 #, que ocorre em #x = 5 #.

Explicação:

Os possíveis pontos que podem ser absolutos são:

Pontos de viragem; ou seja, pontos onde # dy / dx = 0 #

Os pontos finais do intervalo

Nós já temos nossos endpoints (#0# e #20#), então vamos encontrar os nossos pontos de viragem:

#f '(x) = 0 #

# d / dx (x ^ (1/3) (20-x)) = 0 #

# 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 #

# (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) #

# (20-x) / (3x) = 1 #

# 20-x = 3x #

# 20 = 4x #

# 5 = x #

Então, há um ponto de virada onde #x = 5 #. Isso significa que os 3 pontos possíveis que podem ser extrema são:

#x = 0 "" "" x = 5 "" "" x = 20 #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Vamos ligar esses valores #f (x) #:

#f (0) = (0) ^ (1/3) (20 - 0) = 0 * 20 = cor (vermelho) 0 #

#f (5) = (5) ^ (1/3) (20 - 5) = raiz (3) (5) * 15 = cor (vermelho) (15 raiz (3) 5 #

#f (20) = (20) ^ (1/3) (20-20) = raiz (3) (20) * 0 = cor (vermelho) 0 #

Portanto, no intervalo #x em 0, 20 #:

O mínimo absoluto é #color (vermelho) 0 #, que ocorre em #x = 0 # e # x = 20 #.

O máximo absoluto é #color (vermelho) (15root (3) 5) #, que ocorre em #x = 5 #.

Resposta final