Como integrar int e ^ x sinx cosx dx?

Responda:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Explicação:

Primeiro podemos usar a identidade:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

que dá:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

Agora podemos usar a integração por partes. A fórmula é:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

eu deixarei #f (x) = sin (2x) # e #g '(x) = e ^ x / 2 #. Aplicando a fórmula, obtemos:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sen (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Agora podemos aplicar a integração por partes mais uma vez, desta vez com #f (x) = cos (2x) # e #g '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sen (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sen (2x) e ^ x / 2 cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Agora temos a integral de ambos os lados da igualdade, para que possamos resolvê-la como uma equação. Primeiro, adicionamos 2 vezes a integral em ambos os lados:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sen (2x) e ^ x / 2 cos (2x) e ^ x + C #

Como queríamos metade como o coeficiente da integral original, dividimos ambos os lados por #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sen (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + c #

Responda:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Explicação:

Nós buscamos:

# Eu = int e ^ x sinxcosx dx #

Qual usando a identidade:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Nós podemos escrever como:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2 I_S #

Onde por conveniência denotamos:

# I_S = int e ^ x sin2x dx #e # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Agora, realizamos a integração por partes mais uma vez.

Deixei # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Em seguida, conectando-se à fórmula do IBP, obtemos:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Agora, temos duas equações simultâneas em dois desconhecidos #É#. e # I_C #, então substituindo B em A temos:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Levando a:

# I = 1/2 I_S + C #

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #