Prova de que N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) é um inteiro?

Responda:

Considerar # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Isso tem uma raiz real que é #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Explicação:

Considere a equação:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Usando o método de Cardano para resolvê-lo, vamos #t = u + v #

Então:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Para eliminar o termo em # (u + v) #, adicione a restrição # uv = 7 #

Então:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Multiplique-se por # u ^ 3 # e reorganizar para obter o quadrático em # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

pela fórmula quadrática, isso tem raízes:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (branco) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (branco) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (branco) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Como isso é real e a derivação foi simétrica em #você# e # v #, podemos usar uma dessas raízes para # u ^ 3 # e o outro para # v ^ 3 # deduzir que o Real zero de # t ^ 3-21t-90 # é:

# t_1 = raiz (3) (45 + 29sqrt (2)) + raiz (3) (45-29sqrt (2)) #

mas nós encontramos:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Então o Real zero de # t ^ 3-21t-90 # é #6#

assim # 6 = raiz (3) (45 + 29sqrt (2)) + raiz (3) (45-29sqrt (2)) #

#cor branca)()#

Nota de rodapé

Para encontrar a equação cúbica, usei o método de Cardano ao contrário.

Responda:

#N = 6 #

Explicação:

Fazer #x = 45 + 29 sqrt (2) # e #y = 45-29 sqrt (2) # então

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

assim

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

ou chamando #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # temos

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

com # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # e #z = 6 # é uma raiz assim

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #