S = (a (r ^ n -1)) / (r-1) Fazendo 'r' a fórmula do sujeito ..?

Responda:

Isso geralmente não é possível …

Explicação:

Dado:

#s = (a (r ^ n-1)) / (r-1) #

Idealmente, queremos derivar uma fórmula como:

#r = "alguma expressão em" s, n, a #

Isso não será possível para todos os valores de # n #. Por exemplo, quando # n = 1 # temos:

#s = (a (r ^ cor (azul) (1) -1)) / (r-1) = a #

Então # r # pode ter qualquer valor para além de #1#.

Além disso, observe que se # a = 0 # então # s = 0 # e de novo # r # pode ter qualquer valor para além de #1#.

Vamos ver até onde podemos chegar em geral:

Primeiro multiplique ambos os lados da equação dada por # (r-1) # para obter:

#s (r-1) = a (r ^ n-1) #

Multiplicando os dois lados, isso se torna:

# sr-s = ar ^ n-a #

Em seguida, subtraindo o lado esquerdo de ambos os lados, obtemos:

# 0 = ar ^ n-sr + (s-a) #

Assumindo #a! = 0 #podemos dividir isso por #uma# para obter a equação polinomial monica:

# r ^ n-s / a r + (s / a-1) = 0 #

Note que para quaisquer valores de #Como# e # n # uma raiz deste polinômio é # r = 1 #, mas isso é um valor excluído.

Vamos tentar fatorar # (r-1) #…

# 0 = r ^ n-s / a r + (s / a-1) #

#color (branco) (0) = r ^ n-1-s / a (r-1) #

#color (branco) (0) = (r-1) (r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a) #

Então, dividindo por # (r-1) # Nós temos:

# r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a = 0 #

As soluções disso terão formas muito diferentes para diferentes valores de # n #. Quando chegar a hora #n> = 6 #, geralmente não é solucionável por radicais.