Qual é o intervalo de convergência de sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? E qual é a soma em x = 3?

$Qual é o intervalo de convergência de sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? E qual é a soma em x = 3?$

Responda:

# - oo, -4 "U" 5, oo "é o intervalo de convergência para x" #

# "x = 3 não está no intervalo de convergência, então a soma de x = 3 é" oo #

Explicação:

# "Trate a soma como seria uma série geométrica substituindo" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

#"Então nós temos"#

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "para" | z | <1 #

# "Então o intervalo de convergência é" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negativo)" #

# "Caso positivo:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 e x> 5 #

# => x> 5 #

# "Caso negativo:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 e x <5 #

# => x <-4 #

# "Segunda parte:" x = 3 => z = 2> 1 => "soma é" oo #

Como você usa o Teste Integral para determinar a convergência ou divergência da série: soma n e ^ -n de n = 1 até infinito?

Pegue a integral int_1 ^ ooxe ^ -xdx, que é finita, e observe que ela limita a soma_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Portanto, é convergente, portanto, sum (n = 1) também é (n). A declaração formal do teste integral afirma que se fin [0, oo) rightarrowRR uma função decrescente monotônica que é não-negativa. Então a soma sum (n = 0) ^ oof (n) é convergente se e somente se "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx for finito. (Tau, Terence. Análise I, segunda edição. Agência do livro Hindustan. 2009). Esta afirmação pode parecer um p

Qual é o intervalo de convergência de sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

Ver abaixo. Usando a identidade polinomial (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) temos para abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) então, para x ne k pi, k em ZZ temos soma_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Qual é o intervalo de convergência de sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Nós podemos fazer isso sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n é uma série geométrica com relação r = 1 / (x (1-x)). Agora sabemos que as séries geométricas convergem quando o valor absoluto da razão é menor que 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Então devemos resolver essa desigualdade: 1 / (x (1-x)) <1 e 1 / (x (1-x))> -1 Vamos começar com o primeiro: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Podemos facilmente provar que o numerador é sempre p