Por que o preenchimento do quadrado é útil? + Exemplo

Responda:

Simplificar expressões quadráticas para que elas se tornem solúveis com raízes quadradas.

Explicação:

Completar o quadrado é um exemplo de uma transformação de Tschirnhaus - o uso de uma substituição (embora implicitamente) para reduzir uma equação polinomial a uma forma mais simples.

Então, dado:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # com #a! = 0 #

nós poderíamos escrever:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (branco) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (branco) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (branco) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (branco) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (branco) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Conseqüentemente:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Assim:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Então, tendo começado com uma equação quadrática no formulário:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

nós entramos em uma forma # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # com #t = (2ax + b) # e # k = sqrt (b ^ 2-4ac) #, eliminando o termo linear deixando apenas termos quadrados.

Enquanto estivermos felizes calculando raízes quadradas, podemos agora resolver qualquer equação quadrática.

Completar o quadrado também é útil para obter a equação de um círculo, elipse ou outra seção cônica no formato padrão.

Por exemplo, dado:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

completando a praça encontramos:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

permitindo-nos identificar esta equação como a de um círculo com centro #(2, -3)# e raio #5#.