Qual é a melhor maneira de encontrar o sqrt (13) sem usar uma calculadora?

Responda:

Eu sugeriria o Newton's Method, embora eu não esteja preparado para afirmar que é mais fácil do que chutar e checar, então ajuste o palpite.

Explicação:

O método de Newton é um método iterativo de aproximação. (Funciona por causa do cálculo, mas essa questão é postada em Álgebra, então vamos deixar isso em paz.)

Faça uma primeira aproximação. No seu exemplo, digamos # x_1 = 3 #

A próxima aproximação é: # x_2 = 1/2 (13 / x_1 + x_1) #

Em outras palavras, dividir #13# pela aproximação atual e média que com sua última aproximação.

Sabendo # x_n #, nós achamos #x_ (n + 1) # por:

#x_ (n + 1) = 1/2 (13 / x_n + x_n) #

Então nós temos: # x_1 = 3 #

Encontrar # x_2 #:

#13/3 = 4.33#

A média da nossa aproximação atual, #3# e o quociente #4.33# é #3.67#

assim # x_2 = 3.67 #

Encontrar # x_3 #:

#13/3.67 = 3.54#

A média da nossa aproximação atual, #3.67# e o quociente #3.54# é #3.61#

assim # x_3 = 3.61 #

Sim, costumava ser tedioso fazer cálculos.

Responda:

Existe um método (talvez não muito conhecido) para encontrar a raiz quadrada de um número que tentei demonstrar abaixo.

Explicação:

Comece como se você estivesse configurando uma divisão longa (mas observe a ausência de um divisor). O número é dividido em blocos de 2 dígitos com tantos pares de zeros após o ponto decimal que você deseja escrever. O ponto decimal deve ser escrito diretamente acima do ponto decimal do número para o qual você está tentando encontrar a raiz quadrada (parece que eu perdi o meu).

Decida o maior dígito cujo quadrado não é maior que o primeiro par de dígitos do valor com o qual você está trabalhando e insira-os conforme indicado abaixo

Multiplique o número acima da linha pelo número à esquerda da linha vertical e subtraia esse produto do valor acima dele.

Copie o próximo par de dígitos como um sufixo para o restante.

Dobrar o valor acima da linha e permitir um dígito de sufixo (então, neste caso, 3 se torna algo entre 60 e 69; ainda a ser determinado).

Determine o maior dígito que, quando usado como o dígito do sufixo à esquerda e, em seguida, usado para multiplicar o valor resultante, não é maior que o valor de trabalho (nesse caso não maior que 400).

Multiplique, subtraia, reduza o próximo par de dígitos.

Duplique o valor da parte superior e escreva com espaço para um dígito de sufixo à esquerda da área de trabalho.

Continue o processo conforme indicado abaixo:

Por favor; Se alguém puder fornecer uma explicação mais simples sobre como trabalhar nesse processo, faça isso.

Responda:

Em vez de escrever um longo comentário ao Jim's, aqui está uma outra resposta.

Encontrar #sqrt (n) #, iterar suas aproximações usando:

#a_ (i + 1) = a_i + (n - a_i ^ 2) / (2a_i) #

Explicação:

Eu costumo usar isso com frações 'impróprias' para derivar uma seqüência de aproximações, parando quando eu acho que tenho dígitos significativos suficientes, então dividindo os inteiros resultantes.

Alternativamente, se eu quiser apenas a raiz quadrada para 4 dígitos significativos, começo com uma aproximação razoável de 2 dígitos e execute uma ou duas etapas.

Eu tento memorizar as praças de #2# números de dígitos também. Então, no caso de #13# Eu deveria lembrar que #36^2 = 1296# está bem perto de #1300#, assim #36# faz uma boa aproximação para #sqrt (1300) #.

A próxima aproximação seria #36 + 4/72 = 36 + 1/18 ~= 36.056#

Conseqüentemente #sqrt (13) ~ = 3.6056 #