Quais são os extremos de f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 no intervalo [-1,3]?

Responda:

Nós temos um mínimo em # x = 0 # e um ponto de inflexão em # x = 3 #

Explicação:

Um máximo é um ponto alto para o qual uma função sobe e depois cai novamente. Como tal, a inclinação da tangente ou o valor da derivada nesse ponto será zero.

Além disso, como as tangentes à esquerda dos máximos vão inclinar-se para cima, depois aplanar e depois inclinar-se para baixo, a inclinação da tangente será continuamente decrescente, isto é, o valor da segunda derivada seria negativo.

Um mínimo, por outro lado, é um ponto baixo no qual uma função cai e depois aumenta novamente. Como tal, a tangente ou o valor da derivada em mínimos também será zero.

Mas, como as tangentes à esquerda dos mínimos serão inclinadas para baixo, então achatando-se e depois inclinando-se para cima, a inclinação da tangente aumentará continuamente ou o valor da segunda derivada será positivo.

Se a segunda derivada é zero, temos um ponto de

Contudo, estes máximos e mínimos podem ser universais, isto é, máximos ou mínimos para toda a gama ou podem estar localizados, isto é, máximos ou mínimos numa gama limitada.

Vamos ver isso com referência à função descrita na questão e para isso vamos primeiro diferenciar #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Sua primeira derivada é dada por #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Isso seria zero para # x ^ 2-9 = 0 # ou #x = + - 3 # ou #0#. Destes apenas #{0,3}# estão dentro do intervalo #-1,3}#.

Portanto, máximos ou mínimos ocorrem em pontos # x = 0 # e # x = 3 #.

Para descobrir se são máximos ou mínimos, vamos ver o segundo diferencial que é #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # e, portanto, enquanto

a # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # e é positivo

a # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # e é um ponto de inflexão.

Portanto, temos um mínimo local em # x = 0 # e um ponto de inflexão em # x = 3 #

. gráfico {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Responda:

O mínimo absoluto é #(-9)^3+10# (que ocorre em #0#), o máximo absoluto no intervalo é #10#, (que ocorre em #3#)

Explicação:

A questão não especifica se devemos encontrar extremos relativos ou absolutos, então vamos encontrar os dois.

Extremos relativos podem ocorrer apenas em números críticos. Números críticos são valores de # x # que estão no domínio de # f # e em que #f '(x) = 0 # ou #f '(x) não existe. (Teorema de Fermat)

Os extremos absolutos em um intervalo fechado podem ocorrer em números críticos no intervalo ou em pontos do intervalo.

Porque a função perguntada aqui é contínua em #-1,3#, o Teorema do Valor Extremo nos assegura que # f # deve ter um mínimo absoluto e um máximo absoluto no intervalo.

Números críticos e extremos relativos.

Para #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, nós achamos #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Claramente, # f '# nunca deixa de existir, portanto não há números críticos desse tipo.

Resolvendo # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # produz soluções #-3#, #0#e #3#.

#-3# não está no domínio desse problema, #-1,3# por isso só precisamos verificar #f (0) # e #f (3) #

Para #x <0 #, temos #f '(x) <0 # e

para #x> 0 #, temos #f '(x)> 0 #.

Então, pelo primeiro teste derivativo, #f (0) # é um mínimo relativo. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

O outro número crítico no intervalo é #3#. Se ignorarmos a restrição de domínio, descobriremos que #f '(x)> 0 # para todos # x # perto #3#. Assim, a função aumenta em pequenos intervalos abertos contendo #3#. Portanto, se pararmos a #3# nós atingimos o ponto mais alto no domínio.

Há sim não acordo universal se dizer que #f (3) = 10 # é um máximo relativo para esta função #-1,3#.

Alguns exigem valor em ambos os lados para ser menor, outros exigem que os valores no domínio de cada lado sejam menores.

Extrema Absoluto

A situação para extrema absoluta em um intervalo fechado # a, b # é muito mais simples.

Encontre números críticos no intervalo fechado. Ligar para # c_1, c_2 # e assim por diante.

Calcule os valores #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # e assim por diante. O maior valor é o máximo absoluto no intervalo e o menor valor é o mínimo absoluto no intervalo.

Nesta questão nós calculamos #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # e #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

O mínimo é #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # e

o máximo é #f (-3) = 10 #.