Resolva x²-3 <3. Isso parece simples, mas não consegui a resposta certa. A resposta é (- 5, -1) U (1, 5). Como resolver essa desigualdade?

Responda:

A solução é que a desigualdade deve ser #abs (x ^ 2-3) <cor (vermelho) (2) #

Explicação:

Como de costume com valores absolutos, divididos em casos:

Caso 1: # x ^ 2 - 3 <0 #

E se # x ^ 2 - 3 <0 # então #abs (x ^ 2-3) = - (x ^ 2-3) = -x ^ 2 + 3 #

e nossa desigualdade (corrigida) se torna:

#x + 2 + 3 <2 #

Adicionar # x ^ 2-2 # para ambos os lados para obter # 1 <x ^ 2 #

assim #x em (-oo, -1) uu (1, oo) #

Da condição do caso nós temos

# x ^ 2 <3 #, assim #x em (-sqrt (3), sqrt (3)) #

Conseqüentemente:

#x em (-sqrt (3), sqrt (3)) nn ((-oo, -1) uu (1, oo)) #

# = (-sqrt (3), -1) uu (1, sqrt (3)) #

Caso 2: # x ^ 2 - 3> = 0 #

E se # x ^ 2 - 3> = 0 # então #abs (x ^ 2-3) = x ^ 2 + 3 # e nossa desigualdade (corrigida) se torna:

# x ^ 2-3 <2 #

Adicionar #3# para ambos os lados para obter:

# x ^ 2 <5 #, assim #x em (-sqrt (5), sqrt (5)) #

Da condição do caso nós temos

# x ^ 2> = 3 #, assim #x em (-oo, -sqrt (3) uu sqrt (3), oo) #

Conseqüentemente:

#x em ((-oo, -sqrt (3) uu sqrt (3), oo)) nn (-sqrt (5), sqrt (5)) #

# = (-sqrt (5), -sqrt (3) uu sqrt (3), sqrt (5)) #

Combinado:

Colocando o caso 1 e o caso 2 juntos, obtemos:

#x em (-sqrt (5), -sqrt (3) uu (-sqrt (3), -1) uu (1, sqrt (3)) uu sqrt (3), sqrt (5)) #

# = (- sqrt (5), -1) uu (1, sqrt (5)) #