Dois números diferem em 3. A soma dos seus recíprocos é de sete décimos. Como você encontra os números?

Responda:

Existem duas soluções para um problema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Explicação:

Este é um problema típico que pode ser resolvido usando um sistema de duas equações com duas variáveis desconhecidas.

Deixe a primeira variável desconhecida ser # x # e o segundo # y #.

A diferença entre eles é #3#, o que resulta na equação:

(1) # x-y = 3 #

Seus recíprocos são # 1 / x # e # 1 / y #, cuja soma é #7/10#, o que resulta na equação:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Aliás, a existência de reciprocals exige as restrições:

#x! = 0 # e #y! = 0 #.

Para resolver este sistema, vamos usar o método de substituição.

Da primeira equação podemos expressar # x # em termos de # y # e substitua na segunda equação.

Da equação (1) podemos derivar:

(3) #x = y + 3 #

Substitua-o na equação (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Aliás, isso exige outra restrição:

# y + 3! = 0 #, isso é #y! = - 3 #.

Usando o denominador comum # 10a (y + 3) # e considerando apenas numeradores, transformamos a equação (4) em:

# 10y + 10 (y + 3) = 7a (y + 3) #

Esta é uma equação quadrática que pode ser reescrita como:

# 20a + 30 = 7a ^ 2 + 21a # ou

# 7y ^ 2 + y-30 = 0 #

Duas soluções para essa equação são:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

ou

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Então, nós temos duas soluções para # y #:

# y_1 = 2 # e # y_2 = -30 / 14 = -15 / 7 #

Correspondentemente, usando # x = y + 3 #, concluímos que existem duas soluções para um sistema:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Em ambos os casos # x # é melhor que # y # por #3#, então a primeira condição de um problema é satisfeita.

Vamos verificar a segunda condição:

(a) para uma solução # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - verificado

(b) para uma solução # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - verificado

Ambas as soluções estão corretas.