Quais são os extremos global e local de f (x) = x ^ 2 (2 - x)?

Responda:

#(0,0)# é um mínimo local e #(4/3,32/27)# é um máximo local.

Não há extremos globais.

Explicação:

Primeiro, multiplique os suportes para facilitar a diferenciação e obter a função na forma

# y = f (x) = 2x ^ 2-x ^ 3 #.

Agora, extremos locais ou relativos ou pontos de viragem ocorrem quando a derivada #f '(x) = 0 #, isto é, quando # 4x-3x ^ 2 = 0 #, # => x (4-3x) = 0 #

# => x = 0 ou x = 4/3 #.

#Portanto f (0) = 0 (2-0) = 0 e f (4/3) = 16/9 (2-4 / 3) = 32/27 #.

Desde o segundo derivado #f '' (x) = 4-6x # tem os valores de

#f '' (0) = 4> 0 e f '' (4/3) = - 4 <0 #, isso implica que #(0,0)# é um mínimo local e #(4/3,32/27)# é um máximo local.

O mínimo global ou absoluto é #ooo e o máximo global é # oo #, desde que a função é ilimitada.

O gráfico da função verifica todos esses cálculos:

gráfico {x ^ 2 (2-x) -7,9, 7,9, -3,95, 3,95}