Quais são os extremos global e local de f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Responda:

#f (x) # tem um mínimo absoluto em #(-1. 0)#

#f (x) # tem um máximo local em # (- 3, 4e ^ -3) #

Explicação:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Regra do produto

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Para os extremos absolutos ou locais: #f '(x) = 0 #

É onde: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Desde a # e ^ x> 0 para todos x em RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 ou -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Regra do produto

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Mais uma vez, desde # e ^ x> 0 # precisamos apenas testar o sinal de # (x ^ 2 + 6x + 7) #

nos nossos pontos extremos para determinar se o ponto é um máximo ou mínimo.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # é um mínimo

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # é um máximo

Considerando o gráfico de #f (x) # abaixo fica claro que #f (-3) # é um máximo local e #f (-1) # é um mínimo absoluto.

gráfico {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5,788, 2,005, -0,658, 3,24}

Finalmente, avaliando os pontos extremos:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

e

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0.199 #