O que são números complexos? Thanx.

Números complexos são números da forma # a + bi # Onde #uma# e # b # são números reais e #Eu# é definido como # i = sqrt (-1) #.

(O acima é uma definição básica de números complexos. Leia sobre um pouco mais sobre eles.)

Muito parecido como denotamos o conjunto de números reais como # RR #, denotamos o conjunto de números complexos como # CC #. Note que todos os números reais também são números complexos, como qualquer número real # x # pode ser escrito como # x + 0i #.

Dado um número complexo # z = a + bi #dizemos que #uma# é o parte real do número complexo (denotado # "Re" (z) #) e # b # é o parte imaginária do número complexo (denotado # "Im" (z) #).

Executar operações com números complexos é semelhante a executar operações em binômios. Dado dois números complexos # z_1 = a_1 + b_1i # e # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (lembrar # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Para a divisão, usamos o fato de que # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Dado um número complexo # z = a + bi # nós chamamos # a-bi # a conjugado complexo do # z # e denote #bar (z) # É uma propriedade útil (como visto acima) que #zbar (z) # é sempre um número real.

Os números complexos têm muitos aplicativos e atributos úteis, mas um deles, geralmente encontrado cedo, é seu uso em polinômios de fatoração. Se nos limitarmos a apenas números reais, um polinômio como # x ^ 2 + 1 # não pode ser fatorado ainda mais, no entanto, se permitirmos números complexos, então temos # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

De fato, se permitirmos números complexos, então qualquer polinômio de grau variável único # n # pode ser escrito como o produto de # n # fatores lineares (possivelmente com alguns sendo os mesmos). Este resultado é conhecido como teorema fundamental da álgebra e, como o nome indica, é muito importante para a álgebra e tem ampla aplicação.