Como resolvo essa equação?

Responda:

# "Veja explicação" #

Explicação:

# "Primeiro aplique o teorema das raízes racionais para encontrar raízes racionais." #

# "Encontramos" x = 1 "como raiz racional." #

# "So" (x-1) "é um fator. Nós dividimos esse fator:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Temos uma equação cúbica restante que não tem raízes racionais." #

# "Podemos resolvê-lo com a substituição do método Vieta." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Substituto" x = y + 2/9 ". Então ficamos" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Substituto" y = (sqrt (22) / 9) z ". Então nós pegamos" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Substituto" z = t + 1 / t ". Então nós pegamos" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Substituindo" u = t ^ 3 ", produz a equação quadrática:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Uma raiz desta equação quadrática é u = 5.73717252." #

# "Substituindo as variáveis de volta, produz:" #

#t = raiz (3) (u) = 1,79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "As outras raízes são complexas:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Eles podem ser encontrados dividindo-se" (x-1.44631151)) #

Responda:

O zero real racional é # x = 1 #.

Então há um zero real irracional:

# x_1 = 1/9 (2 + raiz (3) (305 + 27sqrt (113)) + raiz (3) (305-27sqrt (113))) #

e zeros complexos não reais relacionados.

Explicação:

Dado:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Note que a soma dos coeficientes é #0#.

Isso é: #3-5+2 = 0#

Daí podemos deduzir que # x = 1 # é um zero e # (x-1) # um fator:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (branco) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

O cúbico restante é um pouco mais complicado …

Dado:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Transformação de Tschirnhaus

Para simplificar a tarefa de resolver o cúbico, simplificamos o uso de uma substituição linear conhecida como transformação de Tschirnhaus.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

Onde # t = (9x-2) #

Método de Cardano

Queremos resolver:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Deixei # t = u + v #.

Então:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Adicione a restrição # v = 22 / u # para eliminar o # (u + v) # prazo e obter:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Multiplique-se por # u ^ 3 # e reorganize ligeiramente para obter:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Use a fórmula quadrática para encontrar:

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Como isso é real e a derivação é simétrica em #você# e # v #, podemos usar uma dessas raízes para # u ^ 3 # e o outro para # v ^ 3 # para encontrar a raiz real:

# t_1 = raiz (3) (305 + 27sqrt (113)) + raiz (3) (305-27sqrt (113)) #

e raízes complexas relacionadas:

# t_2 = raiz ômega (3) (305 + 27sqrt (113)) + ômega ^ 2 raiz (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = raiz ômega ^ 2 (3) (305 + 27sqrt (113)) + raiz ômega (3) (305-27sqrt (113)) #

Onde # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # é a raiz do cubo complexo primitivo de #1#.

Agora # x = 1/9 (2 + t) #. Então as raízes do nosso cúbico original são:

# x_1 = 1/9 (2 + raiz (3) (305 + 27sqrt (113)) + raiz (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + raiz omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + raiz omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 raiz (3) (305 + 27sqrt (113)) + raiz omega (3) (305-27sqrt (113))) #