Responda:
O ponto # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) aproximadamente (1.26694,1.16437) # é um ponto mínimo local.
Explicação:
As derivadas parciais de primeira ordem são # (parcial f) / (parcial x) = y-3x ^ {- 4} # e # (parcial f) / (parcial y) = x-2y ^ {- 3} #. Definir esses dois valores iguais a zero no sistema # y = 3 / x ^ (4) # e # x = 2 / y ^ {3} #. Subtitulando a primeira equação na segunda dá # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Desde a #x! = 0 # no domínio de # f #, isto resulta em # x ^ {11} = 27/2 # e # x = (27/2) ^ {1/11} # de modo a # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
As derivadas parciais de segunda ordem são # (parcial ^ {2} f) / (parcial x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (parcial ^ {2} f) / (parcial y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #e # (parcial ^ {2} f) / (parcial x parcial y) = (parcial ^ {2} f) / (parcial y parcial x) = 1 #.
O discriminante é, portanto, # D = (parcial ^ {2} f) / (parcial x ^ {2}) * (parcial ^ {2} f) / (parcial y ^ {2}) - ((parcial ^ {2} f) / (parcial x parcial y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. Isso é positivo no ponto crítico.
Como as derivadas parciais de segunda ordem puras (não mistas) também são positivas, segue-se que o ponto crítico é um mínimo local.
