Quais são os extremos de f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 em [-oo, oo]?

Responda:

#f (x) # tem um mínimo de # x = 2 #

Explicação:

Antes de prosseguir, note que esta é uma parábola virada para cima, o que significa que podemos saber, sem mais cálculos, que ela não terá máximos e um único mínimo no seu vértice. Completar a praça nos mostraria que #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, dando o vértice e, portanto, o mínimo #x = 2 #. Vamos ver como isso seria feito com cálculo, no entanto.

Qualquer extrema ocorrerá em um ponto crítico ou em um ponto final do intervalo dado. Como nosso intervalo dado de # (- oo, oo) # é aberto, podemos ignorar a possibilidade de pontos finais, e assim primeiro identificaremos os pontos críticos da função, isto é, o ponto em que a derivada da função é #0# ou não existe.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Configurando isto igual a #0#, encontramos um ponto crítico em # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Agora, podemos testar para ver se é um extremo (e que tipo) verificando alguns valores de # f # em torno desse ponto, ou usando o segundo teste derivado. Vamos usar o último.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Como #f '' (2) = 6> 0 #, o segundo teste derivativo nos diz que #f (x) # tem um mínimo local em # x = 2 #

Assim, usando #f '(x) # e #f '' (x) #, achamos que #f (x) # tem um mínimo de # x = 2 #, combinando o resultado que encontramos usando álgebra.