Mostre que se p, q, r, s são números reais e pr = 2 (q + s) então pelo menos uma das equações x ^ 2 + px + q = 0 e x ^ 2 + rx + s = 0 tem raízes reais?

Responda:

Por favor veja abaixo.

O discriminante de # x ^ 2 + px + q = 0 # é # Delta_1 = p ^ 2-4q #

e aquele de # x ^ 2 + rx + s = 0 # é # Delta_2 = r ^ 2-4s #

e # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # p ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

e se # pr = 2 (q + s) #, temos # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Como a soma dos dois discriminantes é positiva, pelo menos um deles seria positivo

e, portanto, pelo menos uma das equações # x ^ 2 + px + q = 0 # e # x ^ 2 + rx + s = 0 # tem raízes reais.