Como você encontra o limite de (arctan (x)) / (5x) quando x se aproxima de 0?

Responda:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Explicação:

Para encontrar esse limite, observe que tanto o numerador quanto o denominador vão para #0# Como # x # aproximações #0#. Isso significa que teríamos uma forma indeterminada, assim podemos aplicar a regra de L'Hospital.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Aplicando a regra de L'Hospital, tomamos a derivada do numerador e denominador, dando-nos

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Também podemos verificar isso fazendo o gráfico da função, para ter uma ideia do que # x # abordagens.

Gráfico de #arctan x / (5x) #:

grico {(arcano x) / (5x) -0,4536, 0,482, -0,0653, 0,4025}

Responda:

Uma abordagem mais longa usando trigonometria é explicada abaixo.

Explicação:

Apenas no caso de você não se sentir confortável com a Regra de L'Hopital, ou ainda não ter sido exposto a ela, outra abordagem para resolver o problema envolve o uso da definição da função arctangente.

Lembre-se que se # tantheta = x #, então # theta = arctanx #; isto essencialmente significa que o arco tangente é o reverso da tangente. Usando esta informação, podemos construir um triângulo onde # tantheta = x # e # theta = arctanx #:

Do diagrama, fica claro que # tantheta = x / 1 = x #. Desde a # tantheta = sintheta / costheta #podemos expressar isso como:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Usando isso mais o fato de que # theta = arctanx #, podemos fazer substituições no limite:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Isso é equivalente a:

#lim_ (teta-> 0) 1/5 * lim_ (teta-> 0) teta * lim_ (teta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (teta -> 0) teta / sineta - lim_ (teta -> 0) costheta #

Nós sabemos isso #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; assim #lim_ (x-> 0) 1 / (sineta / theta) = 1/1 # ou #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. E desde # cos0 = 1 #, o limite avalia para:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#