O número 90 ^ 9 tem 1900 divisores integrais positivos diferentes. Quantos destes são quadrados de inteiros?

Responda:

Uau - eu tenho que responder minha própria pergunta.

Explicação:

Acontece que a abordagem é uma combinação de combinatória e teoria dos números. Começamos por factoring #90^9# em seus fatores primos:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

O truque aqui é descobrir como encontrar quadrados de inteiros, o que é relativamente simples. Quadrados de inteiros podem ser gerados de várias maneiras a partir dessa fatoração:

#5^9*3^18*2^9#

Nós podemos ver isso #5^0#, por exemplo, é um quadrado de um inteiro e um divisor de #90^9#; Da mesma forma, #5^2#, #5^4#,#5^6#e #5^8# todos atendem a essas condições também. Portanto, temos 5 maneiras possíveis de configurar um divisor de #90^9# isto é um quadrado de um inteiro, usando apenas 5s.

O mesmo raciocínio se aplica a #3^18# e #2^9#. Todas as potências pares desses fatores primos - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 no total) para 3 e 0, 2, 4, 6, 8 (5 no total) para 2 - é um quadrado perfeito que é um divisor de #90^9#. Além disso, qualquer combinação desses principais divisores que têm até poderes também satisfazem as condições. Por exemplo, #(2^2*5^2)^2# é um quadrado de um inteiro, como é #(3^8*2^4)^2#; e ambos, sendo constituídos por divisores de #90^9#, também são divisores de #90^9#.

Assim, o número desejado de quadrados de inteiros que são divisores de #90^9# É dado por #5*10*5#, que é a multiplicação das escolhas possíveis para cada fator primo (5 para 5, 10 para 3 e 5 para 2). Isso é igual a #250#, Qual é a resposta correta.