Quais são os extremos locais, se houver, de f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Responda:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) aprox 0.541 #

Explicação:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Aplicando a regra do produto

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Para máximos ou mínimos locais: #f '(x) = 0 #

Deixei # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 ou z = -2 #

Por isso, para o máximo ou mínimo local:

#lnx = 0 ou lnx = -2 #

#:. x = 1 ou x = e ^ -2 aproximadamente 0.135 #

Agora, examine o gráfico de #x (lnx) ^ 2 # abaixo.

gráfico {x (lnx) ^ 2 -2,566, 5,23, -1,028, 2,87}

Podemos observar que simplificado #f (x) # tem um mínimo local em # x = 1 # e um máximo local em #x em (0, 0,25) #

Conseqüentemente: #f_min = f (1) = 0 # e #f_max = f (e ^ (- 2)) aprox 0.541 #