Quais são os extremos locais de f (x) = xlnx-xe ^ x?

Responda:

Esta função não possui extremos locais.

Explicação:

#f (x) = xlnx-xe ^ x implica #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Para # x # ser um extremo local, #g (x) # deve ser zero. Vamos agora mostrar que isso não ocorre para qualquer valor real de # x #.

Observe que

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

portanto #g ^ '(x) # vai desaparecer se

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Esta é uma equação transcendental que pode ser resolvida numericamente. Desde a #g ^ '(0) = + oo # e #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, a raiz fica entre 0 e 1. E desde então #g ^ {''} (0) <0 # para todos positivos # x #, esta é a única raiz e corresponde a um máximo para #g (x) #

É muito fácil resolver a equação numericamente, e isso mostra que #g (x) # tem um máximo a # x = 0.3152 # e o valor máximo é #g (0.3152) = -1.957 #. Desde o valor máximo de #g (x) # é negativo, não há valor de # x # em qual #g (x) # desaparece.

Pode ser instrutivo olhar isto graficamente:

gráfico {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Como você pode ver no gráfico acima, a função #f (x) # na verdade tem um máximo em # x = 0 # - mas isso não é um máximo local. O gráfico abaixo mostra que #g (x) equiv f ^ '(x) # nunca leva o valor zero.

gráfico {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}