Um super-herói se lança do topo de um prédio com uma velocidade de 7,3 m / s em um ângulo de 25 graus acima da horizontal. Se o prédio tiver 17 m de altura, até onde ele viajará horizontalmente antes de chegar ao solo? Qual é a sua velocidade final?

Um diagrama disso ficaria assim:

O que eu faria é listar o que sei. Tomaremos negativo como baixo e deixado como positivo.

#h = "17 m" #

#vecv_i = "7,3 m / s" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9,8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

PRIMEIRA PARTE: ASCENSÃO

O que eu faria é encontrar onde o ápice é determinar # Deltavecy #e, em seguida, trabalhar em um cenário de queda livre. Note que no ápice, #vecv_f = 0 # porque a pessoa muda de direção em virtude da predominância da gravidade na diminuição da componente vertical da velocidade pelo zero e nos negativos.

Uma equação envolvendo # vecv_i #, # vecv_f #e # vecg # é:

# mathbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

onde nós dizemos #vecv_ (fy) = 0 # no ápice.

Desde a #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # e #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # e esta equação está realmente nos pedindo para usar #g <0 #.

Por parte 1:

#color (azul) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2) / (2g) = cor (azul) ((- v_ (iy) ^ 2) / (2g))> 0 #

Onde #vecv_ (fy) = 0 # é a velocidade final para parte 1.

Lembre-se que uma velocidade vertical tem um # sintheta # componente (desenhe um triângulo retângulo e obtenha o #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # relação).

#color (verde) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

Agora que nós temos # Deltavecy # e nós sabemos que # vecv_y # mudou de direção, podemos supor queda livre está ocorrendo.

o altura total da queda é #color (verde) (h + Deltavecy) #. Isso é algo que podemos usar por parte 2.

eu recebo # Deltavecy # ser sobre # "0,485 m" # e #h + Deltavecy # ser sobre #color (azul) ("17,485 m") #.

PARTE DOIS: A QUEDA LIVRE

Podemos novamente tratar o # y # direção independentemente do # x # direção, uma vez que #veca_x = 0 #.

No ápice, lembre-se que #color (verde) (vecv_ (iy) = 0) #, que é a velocidade inicial para parte 2e foi a velocidade final em parte 1. Agora podemos usar outra equação cinemática 2D. Lembre-se que a altura total não é # Deltavecy # Aqui!

# mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "queda livre" ^ 2) + cancelar (v_ (i) t_ "queda livre") ^ (0) #

Agora podemos apenas resolver o tempo necessário para atingir o solo a partir do ápice.

#color (verde) (t_ "queda livre") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = cor (verde) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sen ^ 2theta) / (2g))) / g)) #

e claro, o tempo obviamente não é negativo, então podemos ignorar a resposta negativa.

… E estamos chegando lá.

TERCEIRA PARTE: RESOLVENDO PARA A DISTÂNCIA HORIZONTAL

Podemos reutilizar a mesma equação cinemática que a previamente examinada. Uma das coisas que temos procurado é # Deltax #, qual é:

#color (azul) (Deltax) = cancelar (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

E como antes, use uma relação trigonométrica para obter o # x # componente (# costheta #).

# = cor (azul) (vecv_icostheta * t_ "overall")> 0 #

Onde #t_ "global" # NÃO é o que temos em parte 2, mas incluirá o tempo #t_ "salto" # indo do prédio para o ápice do vôo e #t_ "queda livre" # que adquirimos anteriormente.

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "salto" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "salto" #

Com #Deltay ~~ "0,485 m" #. Quando resolvemos isso usando a equação quadrática, isso produziria:

#t_ "salto" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |))) / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~ ~ "0.3145 s" #

Inclua o tempo adquirido para o ápice no chão e você deve obter #color (azul) ("2,20 s") # para o voo inteiro. Vamos chamar isso #t_ "global" #.

#t_ "overall" = t_ "salto" + t_ "queda livre" #

Usando #t_ "global" #, Eu recebo #color (azul) (Deltavecx ~ ~ "14,58 m") #.

QUARTA PARTE: RESOLUÇÃO DA VELOCIDADE FINAL

Agora isso vai exigir um pouco mais de raciocínio. Nós sabemos isso #h = "17 m" # e nós temos # Deltax #. Portanto, podemos determinar o ângulo em relação ao solo horizontal.

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#color (azul) (theta '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx))) #

Observe como usamos #h + Deltavecy # desde que de fato pulamos para cima antes de cair, e não saltamos para frente. Então, o ângulo # theta # envolve # Deltax # e a altura total, e vamos levar o magnitude da altura total para isso.

E finalmente, desde # vecv_x # não mudou todo esse tempo (nós ignoramos a resistência do ar aqui):

#color (verde) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= cor (verde) (vecv_icostheta')> 0 #

Onde # vecv_i # é a velocidade inicial da peça 1. Agora só precisamos saber o que #vecv_ (fy) # é em parte 2. Volte para o começo para ver:

#vecv_ (fy) ^ 2 = cancelar (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vec * (h + Deltavecy) #

Portanto, isso se torna:

#color (verde) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy))) <0 #

Lembre-se que nós definimos como negativo, assim # h + Deltay <0 #.

Ok, estamos QUASE lá. Nos pedem # vecv_f #. Portanto, terminamos usando o Teorema de Pitágoras.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (azul) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

No geral, #color (azul) (| vecv_f | ~~ "19.66 m / s") #.

E isso seria tudo! Verifique sua resposta e me diga se funcionou.

Aqui o vel. de projeção, # v = 7.3ms ^ -1 #

o ângulo. de projeção,# alpha = 25 ^ 0 # acima horizontal

O componente vertical ascendente do vel da projeção,# vsinalpha = 7.3 * sin25 ^ 0 = 7.3 * 0.42ms ^ -1 ~ ~ 3.07ms ^ -1 #

Sendo o prédio de 17m de altura, o deslocamento vertical da rede atingindo o solo será # h = -17m # como o super-herói projetou-se para cima (tomado positivo aqui)

Se o tempo de voo, ou seja, o tempo necessário para chegar ao solo, for T

então usando a fórmula #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # nós podemos ter

# => - 17 = 3,07 * T-0,5 * 9,8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

dividindo ambos os lados por 4.9 obtemos

# => T ^ 2-0.63T-3.47 = 0 #

# => T = (0,63 + sqrt ((- 0,63) ^ 2-4 * 1 * (- 3,47))) / 2 ~ ~ 2,20s #

(tempo negativo descartado)

Então, o deslocamento horizontal do herói antes de chegar ao solo será

# = T * vcosalpha = 2.20 ** 7.3cos (25 ^ 0) ~ ~ 14.56m #

Cálculo da velocidade na hora de alcançar o chão

Velocidade componente vertical no momento de atingir o solo

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alfa + 2xx (-9.8) xx (-17) #

Mais uma vez componente horizontal da velocidade no momento de atingir o solo

# => v_x = ucosalpha #

Velocidade resultante na hora de atingir o solo

# v_r = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (u ^ 2sin ^ 2alfa + u ^ 2cos ^ 2alpha-2xx9.8xx17) #

# => v_r = sqrt (u ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => v_r = sqrt (7.3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19.66 "m / s" #

Direção de # v_r # com a horizontal# = tan ^ -1 (v_y / v_x) #

# = tan ^ -1 (sqrt (u ^ 2sin ^ 2alfa + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (ucosalfa)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7.3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (7.3cos25)) #

# = 70.3 ^ @ -> "para baixo com a horizontal" #

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