Use o Teorema dos Zeros Racionais para encontrar os possíveis zeros da seguinte função polinomial: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

Responda:

O possível racional zeros são:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Explicação:

Dado:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

Pelo teorema dos zeros racionais, quaisquer zeros racionais de #f (x) # são expressáveis na forma # p / q # para inteiros #p, q # com # p # um divisor do termo constante #-35# e # q # um divisor do coeficiente #33# do termo principal.

Os divisores de #-35# está:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

Os divisores de #33# está:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

Portanto, os possíveis zeros racionais são:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

ou em ordem crescente de tamanho:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

Note que estas são apenas as possibilidades racionais. O teorema dos zeros racionais não nos informa sobre possíveis zeros irracionais ou complexos.

Usando a Regra de Sinais de Descartes, podemos determinar que este cúbico não tem zeros negativos e #1# ou #3# zeros reais positivos.

Portanto, os únicos zeros racionais possíveis são:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

Tentando cada um por sua vez, encontramos:

#f (1/11) = 33 (cor (azul) (1/11)) ^ 3-245 (cor (azul) (1/11)) ^ 2 + 407 (cor (azul) (1/11)) -35 #

#color (branco) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (branco) (f (1/11)) = 0 #

assim # x = 1/11 # é um zero e # 11x-1 # um fator:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

Para fatorar a quadrática remanescente, podemos usar um método AC:

Encontre um par de fatores de #AC = 3 * 35 = 105 # com soma # B = 22 #

O par #15, 7# trabalho.

Use este par para dividir o termo do meio e depois fatorar por agrupamento:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (branco) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (branco) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

Portanto, os outros dois zeros são:

# x = 7/3 "" # e # "" x = 5 #