Um corpo foi encontrado às 10 da manhã em um depósito onde a temperatura era de 40 ° F. O médico legista descobriu que a temperatura do corpo era de 20 ° C. Qual foi o tempo aproximado de morte?

Responda:

A hora aproximada da morte é #8:02:24# sou.

Importante notar que esta é a temperatura da pele do corpo. O médico legista estaria medindo a temperatura interna que diminuiria muito mais lentamente.

Explicação:

A lei de Newton de resfriamento afirma que a taxa de mudança de temperatura é proporcional à diferença para a temperatura ambiente. Ou seja

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

E se #T> T_0 # então o corpo deve esfriar então a derivada deve ser negativa, por isso nós inserimos a constante de proporcionalidade e chegamos a

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Multiplicando o suporte e mudando as coisas sobre nós:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Agora pode usar o método de fator de integração para resolver ODEs.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Multiplique ambos os lados por #I (x) # para obter

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (k) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Observe que, ao usar a regra do produto, podemos reescrever o LHS, deixando:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrar ambos os lados para # t #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Dividido por # e ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

A temperatura média do corpo humano é # 98.6 ° "F" #.

#implica T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

Deixei # t_f # seja a hora em que o corpo é encontrado.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1,96 hr #

Então, a partir da hora da morte, assumindo que o corpo imediatamente começou a esfriar, levou 1,96 horas para chegar a 80 ° F, altura em que foi encontrado.

# 1.96hr = 117.6min #

A hora aproximada da morte é #8:02:24# sou