Como você encontra uma aproximação linear para a raiz (4) (84)?

Responda:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Explicação:

Observe que #3^4 = 81#, que está perto de #84#.

assim #root (4) (84) # é um pouco maior que #3#.

Para obter uma melhor aproximação, podemos usar uma aproximação linear, também conhecida como método de Newton.

Definir:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Então:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

e dado um zero aproximado # x = a # do #f (x) #, uma melhor aproximação é:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Então, no nosso caso, colocando # a = 3 #, uma melhor aproximação é:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02bar (7) #

Isso é quase preciso para #4# números significativos, mas vamos citar a aproximação como #3.03#

Responda:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

Explicação:

Note que a aproximação linear perto de um ponto #uma# pode ser dado por:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Se dado: #f (x) = raiz (4) (x) #

então uma escolha adequada para #uma# seria # a = 81 # porque sabemos #root (4) 81 = 3 # exatamente e está perto de #84#.

Assim:

#f (a) = f (81) = raiz (4) (81) = 3 #

Além disso;

#f (x) = x ^ (1/4) # assim #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Portanto, podemos aproximar (perto #81#):

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

#implica a raiz (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Assim:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

O valor mais preciso é #3.02740#

então a aproximação linear é bastante próxima.

Responda:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Explicação:

Podemos dizer que temos uma função de #f (x) = raiz (4) (x) #

e # raiz (4) (84) = f (84) #

Agora, vamos encontrar a derivada da nossa função.

Nós usamos a regra de poder, que afirma que se #f (x) = x ^ n #, então #f '(x) = nx ^ (n-1) # Onde # n # é uma constante.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Agora, para aproximar # root (4) (84) #, tentamos encontrar a quarta potência perfeita mais próxima de 84

Vamos ver…

#1#

#16#

#81#

#256#

Nós vemos que #81# é o nosso mais próximo.

Agora encontramos a linha tangente de nossa função quando # x = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Esta é a inclinação que estamos procurando.

Vamos tentar escrever a equação da linha tangente na forma # y = mx + b #

Bem, o que é # y # igual a quando # x = 81 #?

Vamos ver…

#f (81) = raiz (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Portanto, agora temos:

# 3 = m81 + b # Nós sabemos que a inclinação # m #, é #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Agora podemos resolver para # b #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Portanto, a equação da linha tangente é # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Nós agora usamos 84 no lugar de # x #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># y = 7/9 + 9/4 #

=># y = 28/36 + 81/36 #

=># y = 109/36 #

=># y = 3,02bar7 #

Assim sendo, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #