Dois cantos de um triângulo isósceles estão em (8, 3) e (5, 4). Se a área do triângulo é 15, quais são os comprimentos dos lados do triângulo?

Responda:

#sqrt (10), 5sqrt (3.7), 5sqrt (3.7) ~ = 3.162,9.618,9.618 #

Explicação:

O comprimento do lado dado é

# s = sqrt ((5-8) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) ~ = 3,162 #

Da fórmula da área do triângulo:

# S = (b * h) / 2 # => # 15 = (sqrt (10) * h) / 2 # => # h = 30 / sqrt (10) ~ = 9.487 #

Como a figura é um triângulo isósceles, poderíamos ter Caso 1, onde a base é o lado singular, ilustrado pela Fig. (a) abaixo

Ou poderíamos ter Caso 2, onde a base é um dos lados iguais, ilustrada pelas Figs. (b) e (c) abaixo

Para este problema, o Caso 1 sempre se aplica, porque:

#tan (alfa / 2) = (a / 2) / h # => # h = (1/2) a / tan (alfa / 2) #

Mas há uma condição para que o Caso 2 se aplique:

#sin (beta) = h / b # => # h = bsin beta #

Ou # h = bsin gamma #

Desde o maior valor de #sin beta # ou #sin gama # é #1#, o maior valor de # h #, no caso 2, deve ser # b #.

No problema atual, h é mais longo que o lado ao qual é perpendicular, portanto, para este problema, somente o Caso 1 se aplica.

Solução considerando Caso 1 (Fig. (A))

# b ^ 2 = h ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = (30 / sqrt (10)) ^ 2+ (sqrt (10) / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = 900/10 + 10/4 = (900 + 25) / 10 = 925/10 # => # b = sqrt (92,5) = 5sqrt (3,7) ~ = 9,618 #