Qual é o maior: 1000 ^ (1000) ou 1001 ^ (999)?

Responda:

#1000^1000 > 1001^999#

Explicação:

Considerando a equação

# 1000 ^ 1000 = 1001 ^ x #

E se #x> 999 #

então

#1000^1000 > 1001^999#

outro

#1000^1000 < 1001^999#

Aplicando a transformação de log para ambos os lados.

# 1000 log 1000 = x log 1001 #

mas

#log 1001 = log1000 + 1 / 1000xx1-1 / (2!) 1/1000 ^ 2xx1 ^ 2 + 2 / (3!) 1/1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdots + 1 / (n!) (d / (dx) log x) _ (x = 1000) 1 ^ n #.

Esta série é alternada e rapidamente convergente

log1001 aprox log1000 + 1/1000 #

Substituindo em

#x = 1000 log1000 / (log1000 + 1/1000) = 1000 (3000/3001) #

mas #3000/3001 = 0.999667# assim

#x = 999.667> 999 # então

#1000^1000 > 1001^999#

Responda:

Aqui está uma solução alternativa usando o teorema binomial para provar:

#1001^999 < 1000^1000#

Explicação:

Pelo teorema binomial:

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

# <1 / (0!) + 1 / (1!) + 1 / (2!) + 1 / (3!) + … = e ~~ 2.718 #

Assim:

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

#color (branco) (1001 ^ 999) = (1 + 1/1000) ^ 999 * 1000 ^ 999 #

#color (branco) (1001 ^ 999) <e * 1000 ^ 999 <1000 * 1000 ^ 999 = 1000 ^ 1000 #

Responda:

#1000^1000 > 1001^999#

Explicação:

#Use log 1000 = log 10 ^ 3 = 3 e log 1001 = 3.0004340 …

Aqui, os logaritmos dos dois são

#log (1000 ^ 1000) = 1000 log1000 = (1000) (3) = 3000 # e

#log 1001 ^ 999 = (999) (3.0004340 …) = 2997.4 #…

Como log é uma função crescente, #1000^1000 > 1001^999#.