Como você encontra o volume da região delimitada pelas curvas y = x ^ 2 - 1 e y = 0 giradas ao redor da linha x = 5?

Responda:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Explicação:

Para calcular este volume, estamos em algum sentido cortando-o em fatias (infinitamente finas).

Nós imaginamos a região, para nos ajudar com isso, incluí o gráfico onde a região é a parte sob a curva. Nós notamos que # y = x ^ 2-1 # cruza a linha # x = 5 # Onde # y = 24 # e que cruza a linha # y = 0 # Onde # x = 1 # gráfico {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Ao cortar esta região em fatias horizontais com altura # dy # (uma altura muito pequena). O comprimento dessas fatias depende muito da coordenada y. para calcular esse comprimento, precisamos saber a distância de um ponto # (y, x) # na linha # y = x ^ 2-1 # para o ponto (5, y). Claro que isso é # 5-x #, mas queremos saber como isso depende # y #. Desde a # y = x ^ 2-1 #, nós sabemos # x ^ 2 = y + 1 #, já que temos #x> 0 # para a região em que estamos interessados, # x = sqrt (y + 1) #, portanto esta distância depende de # y #, que devemos denotar como #r (y) # É dado por #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Agora nós giramos esta região ao redor # x = 5 #, isso significa que cada fatia se torna um cilindro com altura # dy # e raio #r (y) #, portanto, um volume #pir (y) ^ 2dy #. Tudo o que precisamos fazer agora é somar esses volumes infinitamente pequenos usando a integração. Nós notamos que # y # vai de #0# para #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26a-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.