Como você encontra a área delimitada pelas curvas y = -4sin (x) e y = sin (2x) sobre o intervalo fechado de 0 a pi?

Responda:

Avalie

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Área é: #8#

Explicação:

A área entre duas funções contínuas #f (x) # e #g (x) # sobre #x em a, b # é:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Portanto, devemos descobrir quando #f (x)> g (x) #

Deixe as curvas serem as funções:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Sabendo que #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Dividido por #2# o que é positivo:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Dividido por # sinx # sem inverter o sinal, uma vez que #sinx> 0 # para cada #x em (0, π) #

# -2> cos (x) #

O que é impossível, já que:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Então a afirmação inicial não pode ser verdadeira. Assim sendo, #f (x) <= g (x) # para cada #x em 0, π #

A integral é calculada:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sen (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sen (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#