Resolva (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4?

Responda:

#y = -2 + -sqrt (2), "" 1/2 + - (sqrt (7) i) / 2 #

Dado: # (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4 #

Esta é uma maneira de resolver. Usar # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

# y ^ 2 + 2cancelar (y) (2 / cancelar (y)) + 4 / y_2 + 3y + 6 / y = 4 #

# y ^ 2 + 4 + 4 / y_2 + 3y + 6 / y = 4 #

Multiplique ambos os lados por # y ^ 2 # para eliminar as frações:

# y ^ 4 + 4y ^ 2 + 4 + 3y ^ 3 + 6y = 4y ^ 2 #

Adicione termos semelhantes e coloque em ordem decrescente:

# y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 = 0 #

Fator:

Não é possível usar fatoração de grupo.

Usar # (y ^ 2 + ay + b) (y ^ 2 + cy + d) = y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 #

# y ^ 4 + (a + c) y ^ 3 + (d + ac + b) y ^ 2 + (ad + bc) y + bd = y ^ 4 + 3y ^ 3 + 6y + 4 #

Resolva o sistema:

#a + c = 3 "" # o coeficiente do # y ^ 3 # prazo

#d + ac + b = 0 "" # porque não há # y ^ 2 # prazo

#ad + bc = 6 "" # o coeficiente do # y # prazo

#bd = 4 #

Comece com as possibilidades de #bd = (2, 2), (4, 1), (1, 4) #

E se #b = 2, d = 2 #então da segunda equação: #ac = -4 #

Experimentar #a = -1, c = 4 "" # funciona para todas as equações!

Fatorado: # "" (y ^ 2 - y + 2) (y ^ 2 + 4y + 2) = 0 #

Resolva cada trinômio completando o quadrado ou usando a fórmula quadrática:

# y ^ 2 - y + 2 = 0; "" y ^ 2 + 4y + 2 = 0 #

#y = (1 + - sqrt (1-4 (1) (2))) / 2; "" y = (-4 + - sqrt (16-4 (1) (2))) / 2 #

#y = (1 + - sqrt (7) i) / 2; "" y = -2 + -sqrt (8) / 2 = -2 + - sqrt (2) #

# y_1 = (1 + isqrt7) / 2 #, # y_2 = (1-isqrt7) / 2 #, # y_3 = -2 + sqrt2 # e # y_4 = -2-sqrt2 #

# (y + 2 / y) ^ 2 + 3y + 6 / y = 4 #

# (y + 2 / y) ^ 2 + 3 * (y + 2 / y) = 4 #

Depois de definir # x = y + 2 / y #, esta equação se tornou

# x ^ 2 + 3x = 4 #

# x ^ 2 + 3x-4 = 0 #

# (x + 4) * (x-1) = 0 #, assim # x_1 = 1 # e # x_2 = -4 #

#uma)# Para # x = 1 #, # y + 2 / y = 1 #

# y ^ 2 + 2 = y #

# y ^ 2-y + 2 = 0 #, consequentemente # y_1 = (1 + isqrt7) / 2 # e # y_2 = (1-isqrt7) / 2 #

#b) # Para # x = -4 #,

# y + 2 / y = -4 #

# y ^ 2 + 2 = -4y #

# y ^ 2 + 4y + 2 = 0 #, consequentemente # y_3 = -2 + sqrt2 # e # y_4 = -2-sqrt2 #