Quais são as assíntotas verticais e horizontais de y = (x + 3) / (x ^ 2-9)?

Responda:

asymptote vertical em # x = 3 #

assíntota horizontal em # y = 0 #

buraco em # x = -3 #

Explicação:

#y = (x + 3) / (x ^ 2-9) #

Primeiro fator:

#y = ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) #

Desde o fator # x + 3 # cancela que é uma descontinuidade ou buraco, o fator # x-3 # não cancela, por isso é uma assíntota:

# x-3 = 0 #

asymptote vertical em # x = 3 #

Agora vamos cancelar os fatores e ver o que as funções fazem quando x fica muito grande no positivo ou negativo:

#x -> + -oo, y ->? #

#y = cancelar ((x + 3)) / (cancelar ((x + 3)) (x-3)) = 1 / (x-3) #

Como você pode ver, a forma reduzida é apenas #1# sobre algum número # x #, podemos ignorar o #-3# porque quando # x # é enorme, é insignificante.

Nós sabemos isso: #x -> + - oo, 1 / x -> 0 # Portanto, nossa função original tem o mesmo comportamento:

#x -> + - oo, ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) -> 0 #

Portanto, a função tem uma assíntota horizontal em # y = 0 #

gráfico {y = (x + 3) / (x ^ 2-9) -10, 10, -5, 5}