Digamos que K e L são dois espaços vetoriais reais subespaciais V. Se for dado dim (K) = dim (L) = 4, como determinar dimensões mínimas são possíveis para V?

Responda:

5

Explicação:

Deixe os quatro vetores # k_1, k_2, k_3 # e # k_4 # formar uma base do espaço vetorial # K #. Desde a # K # é um subespaço de # V #, esses quatro vetores formam um conjunto linearmente independente # V #. Desde a #EU# é um subespaço de # V # diferente de # K #, deve haver pelo menos um elemento, digamos # l_1 # em #EU#, que não está em # K #, isto é, que não é uma combinação linear de # k_1, k_2, k_3 # e # k_4 #.

Então, o conjunto # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # é um conjunto linear independente de vetores em # V #. Assim, a dimensionalidade de # V # é pelo menos 5!

Na verdade, é possível que o espaço de # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # para ser o espaço vetorial inteiro # V # - de modo que o número mínimo de vetores base deve ser 5.

Apenas como um exemplo, vamos # V # estar # RR ^ 5 # e deixar # K # e # V # consiste em vetores das formas

# ((alfa), (beta), (gama), (delta), (0)) # e # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

É fácil ver que os vetores

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#e #((0),(0),(0),(0),(0))#

formar uma base de # K #. Anexar o vetor #((0),(0),(0),(0),(0))#, e você terá uma base para todo o espaço vetorial,