Sem gráficos, como você decide se o seguinte sistema de equações lineares tem uma solução, infinitamente muitas soluções ou nenhuma solução?

Responda:

Um sistema de # N # equações lineares com # N # variáveis desconhecidas que não contém dependência linear entre equações (ou seja, sua determinante é diferente de zero) terá uma e apenas uma solução.

Explicação:

Vamos considerar um sistema de duas equações lineares com duas variáveis desconhecidas:

# Ax + + = C #

# Dx + Ey = F #

Se par # (A, B) # não é proporcional ao par # (D, E) # (isto é, não existe esse número #k # naquela # D = kA # e # E = kB #, que pode ser verificado por condição # A * E-B * D! = 0 #) então há uma e apenas uma solução:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

Exemplo:

# x + y = 3 #

# x-2y = -3 #

Solução:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

Se par # (A, B) # é proporcional ao par # (D, E) # (o que significa que existe tal número #k # naquela # D = kA # e # E = kB #, que pode ser verificado por uma condição # A * E-B * D = 0 #), existem dois casos:

(a) infinito número de soluções se # C # e # F # são proporcionais com o mesmo coeficiente #UMA# e # D #, isso é # F = kC #, Onde #k # é o mesmo coeficiente de proporcionalidade;

Exemplo:

# x + y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

Aqui # k = 2 # para todos os pares: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

A segunda equação é uma conseqüência trivial da primeira (basta multiplicar a primeira equação por #2#) e, portanto, não fornece informações adicionais sobre o desconhecido, reduzindo o número de equações, efetivamente, para 1.

(b) nenhuma solução, se #F! = KC #

Exemplo:

# x + 4y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

Nesse caso, as equações se contradizem, pois, multiplicando a primeira por 2, derivamos a equação # 2x + 8y = 6 #, que não pode ter solução comum com # 2x + 8y = 5 # já que as partes esquerdas dessas duas equações são iguais, mas as partes certas não são.