Você encontrou um osso da perna fossilizado de algum mamífero desconhecido. Baseado no tamanho do osso, você determina que deveria conter cerca de 100 g de carbono-14 quando o animal estava vivo. O osso agora contém 12,5 g de carbono-14. Quantos anos tem o osso?

Responda:

# "17,190 anos" #

Explicação:

A meia-vida nuclear é simplesmente uma medida de quanto tempo deve passar para que uma amostra de uma substância radioativa diminua para metade do seu valor inicial.

Simplificando, em uma meia-vida nuclear, metade dos átomos na amostra inicial sofrem decaimento radioativo e o outro metade não.

Como o problema não fornece a meia-vida nuclear do carbono-14, você terá que fazer uma pesquisa rápida.

Você vai encontrá-lo listado como

#t_ "1/2" = "5730 anos" #

en.wikipedia.org/wiki/Carbon-14

Então, o que isso te diz?

Uma amostra inicial de carbono-14, # A_0 #, será metade com o passar do cada meia-vida, que no seu caso é #5730# anos. Você pode dizer que você será deixar com

# A_0 * 1/2 -> # após a passagem de uma meia-vida

# A_0 / 2 * 1/2 = A_0 / 4 -> # após a passagem de duas meias-vidas

# A_0 / 4 * 1/2 = A_0 / 8 -> # após a passagem de três meias-vidas

# A_0 / 8 * 1/2 = A_0 / 16 -> # após a passagem de quatro meias-vidas

# vdots #

e assim por diante.

Você pode dizer assim que #UMA#, a massa da substância radioativa que permanece indeciso, será igual a

#color (azul) (A = A_0 * 1/2 ^ n) "" #, Onde

# n # - a número de meias vidas que passam em um determinado período de tempo

Então, você sabe que você começa com # "100.0 g" # de carbono-14, e acabar com # "12,5 g" # após a passagem de uma quantidade desconhecida de tempo.

Isso significa que você pode dizer

#overbrace (12,5 cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) ("g")))) ^ (cor (laranja) ("massa restante")) = overbrace (100,0 cor (vermelho) (cancelar (cor (preto)) ("g")))) ^ (cor (púrpura) ("massa inicial")) * 1/2 ^ n #

Reorganize para obter

# 12.5 / 100.0 = 1/2 ^ n #

# 1/8 = 1/2 ^ n implica 2 ^ n = 8 #

Desde a #8 = 2^3#, voce terá

# 2 ^ n = 2 ^ 3 implica n = 3 #

Assim, três meias-vidas deve passar para que sua amostra de carbono-14 seja reduzida de # "100.0 g" # para # "12,5 g" #. Desde a

#color (azul) (n = "período de tempo" / "meia-vida" = t / t_ "1/2") #

você pode dizer isso

#t = n xx t_ "1/2" #

No seu caso,

#t = 3 xx "5730 anos" = cor (verde) ("17,190 anos") #

A resposta devemos ser arredondado para três sig, mas deixarei como, apenas por uma boa medida.