Qual é a equação da forma padrão da parábola com uma diretriz de x = 5 e foco em (11, -7)?

Responda:

O formulário padrão é:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Explicação:

Porque a diretriz é uma linha vertical, #x = 5 #, a forma do vértice para a equação da parábola é:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

onde (h, k) é o vértice e #f é a distância horizontal assinada do vértice ao foco.

Sabemos que a coordenada y, k, do vértice é a mesma que a coordenada y do foco:

#k = -7 #

Substitua -7 por k na equação 1:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + h "2" #

Sabemos que a coordenada x do vértice é o ponto médio entre a coordenada x do foco e a coordenada x da diretriz:

# h = (x_ "focus" + x_ "directrix") / 2 #

# h = (11 + 5) / 2 #

#h = 16/2 #

#h = 8 #

Substitua 8 por h na equação 2:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + 8 "3" #

A distância focal é a distância horizontal assinada do vértice ao foco:

#f = x_ "foco" -h #

#f = 11-8 #

#f = 3 #

Substitua 3 por f na equação 3:

#x = 1 / (4 (3)) (y - 7) ^ 2 + 8 #

Vamos multiplicar o denominador e escrever - como +

#x = 1/12 (y + 7) ^ 2 + 8 #

Expanda o quadrado:

#x = 1/12 (y ^ 2 + 14y + 49) + 8 #

Distribuir o #1/12#

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 49/12 + 8 #

Combine os termos constantes:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

Responda:

# x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #

Explicação:

Diretriz # x = 5 #

Foco #(11, -7)#

A partir disso podemos encontrar o vértice.

Olhe o diagrama

Vértices encontra-se exatamente entre Directrix e Focus

# x, y = (5 + 11) / 2, (-7 + (-7)) / 2 = (8, -7) #

A distância entre o foco e o vértice é # a = 3 #

A parábola está se abrindo para a direita

A equação da Parábola aqui é -

# (y-k) ^ 2 = 4a (x-h) #

# (h, k) # é o vértice

# h = 8 #

# k = -7 #

Plugar # h = 8; k = -7 e a = 3 # na equação

# (y - (- 7)) ^ 2 = 4,3 (x-8) #

# (y + 7) ^ 2 = 4,3 (x-8) #

# 12x-96 = y ^ 2 + 14y + 49 # transpor

# 12x = y ^ 2 + 14y + 49 + 96 #

# 12x = y ^ 2 + 14y + 145 #

# x = y ^ 2/12 + 14 / 12y + 145/12 #

# x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12 #