Qual é a equação da forma padrão da parábola com uma diretriz de x = 5 e foco em (11, -7)?

Qual é a equação da forma padrão da parábola com uma diretriz de x = 5 e foco em (11, -7)?
Anonim

Responda:

O formulário padrão é:

x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12

Explicação:

Porque a diretriz é uma linha vertical, x = 5 , a forma do vértice para a equação da parábola é:

x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1"

onde (h, k) é o vértice e #f é a distância horizontal assinada do vértice ao foco.

Sabemos que a coordenada y, k, do vértice é a mesma que a coordenada y do foco:

k = -7

Substitua -7 por k na equação 1:

x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + h "2"

Sabemos que a coordenada x do vértice é o ponto médio entre a coordenada x do foco e a coordenada x da diretriz:

h = (x_ "focus" + x_ "directrix") / 2

h = (11 + 5) / 2

h = 16/2

h = 8

Substitua 8 por h na equação 2:

x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + 8 "3"

A distância focal é a distância horizontal assinada do vértice ao foco:

f = x_ "foco" -h

f = 11-8

f = 3

Substitua 3 por f na equação 3:

x = 1 / (4 (3)) (y - 7) ^ 2 + 8

Vamos multiplicar o denominador e escrever - como +

x = 1/12 (y + 7) ^ 2 + 8

Expanda o quadrado:

x = 1/12 (y ^ 2 + 14y + 49) + 8

Distribuir o 1/12

x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 49/12 + 8

Combine os termos constantes:

x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12

Responda:

x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12

Explicação:

Diretriz x = 5

Foco (11, -7)

A partir disso podemos encontrar o vértice.

Olhe o diagrama

Vértices encontra-se exatamente entre Directrix e Focus

x, y = (5 + 11) / 2, (-7 + (-7)) / 2 = (8, -7)

A distância entre o foco e o vértice é a = 3

A parábola está se abrindo para a direita

A equação da Parábola aqui é -

(y-k) ^ 2 = 4a (x-h)

(h, k) é o vértice

h = 8

k = -7

Plugar h = 8; k = -7 e a = 3 na equação

(y - (- 7)) ^ 2 = 4,3 (x-8)

(y + 7) ^ 2 = 4,3 (x-8)

12x-96 = y ^ 2 + 14y + 49 transpor

12x = y ^ 2 + 14y + 49 + 96

12x = y ^ 2 + 14y + 145

x = y ^ 2/12 + 14 / 12y + 145/12

x = y ^ 2/12 + 7 / 6y + 145/12