O maior lado de um triângulo retângulo é um ^ 2 + b ^ 2 e o outro lado é 2ab. Qual condição fará com que o terceiro lado seja o menor lado?

Responda:

Para o terceiro lado ser o mais curto, precisamos # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (e essa #uma# e # b # tem o mesmo sinal).

Explicação:

O lado mais longo de um triângulo retângulo é sempre a hipotenusa. Então, sabemos que a duração da hipotenusa é # a ^ 2 + b ^ 2. #

Deixe o comprimento do lado desconhecido ser # c # Então, do teorema de Pitágoras, sabemos

# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #

#color (branco) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #

#color (branco) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #

#color (branco) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #

#color (branco) c = a ^ 2-b ^ 2 #

Nós também exigimos que todos os comprimentos laterais sejam positivos, então

# a ^ 2 + b ^ 2> 0 #

# => a! = 0 ou b! = 0 #

# 2ab> 0 #

# => a, b> 0 ou a, b <0 #

# c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #

# <=> a ^ 2> b ^ 2 #

# <=> absa> absb #

Para agora qualquer triângulo, o lado mais longo devo ser mais curto que o soma dos outros dois lados. Então nós temos:

#color (branco) (=>) 2ab + "" c cor (branco) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab cor (branco) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "," se b> 0), (a <b "," se b <0):} #

Além disso, para o terceiro lado ser menor, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

ou # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # ou # a-b <sqrt2b # ou #a <b (1 + sqrt2) #

Combinando todas essas restrições, podemos deduzir que, para que o terceiro lado seja o mais curto, devemos ter # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb e (a, b <0 ou a, b> 0). #