Um círculo tem um centro que cai na linha y = 7 / 2x +3 e passa por (1, 2) e (8, 1). Qual é a equação do círculo?

Responda:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Explicação:

Ponto A #(1,2)# e ponto B #(8,1)# deve ser a mesma distância (um raio) do centro do círculo

Esta é a mentira na linha de pontos (L) que estão todos distantes de A e B

a fórmula para calcular a distância (d) entre dois pontos (de pythagorus) é # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

substituir no que sabemos para o ponto A e um ponto arbitrário em L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

substituir no que sabemos para o ponto B e um ponto arbitrário em L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Assim sendo

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Expandir os parênteses

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Simplificar

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

o ponto central fica na linha #y = 7x - 30 # (o conjunto de pontos equidistantes de A e B)

e na linha #y = 7x / 2 + 3 # (dado)

resolver onde essas duas linhas se cruzam para encontrar o centro do círculo

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

substituir em #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

O centro do círculo está em #(66/7, 36)#

o raio quadrado do círculo pode agora ser calculado como

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

A fórmula geral para um círculo ou raio # r # é

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # com o centro em h, k

Nós agora sabemos # h #, #k # e # r ^ 2 # e pode substituí-los na equação geral para o círculo

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

expandir os parênteses

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72a + 1296 = 3481/49 + 1156 #

e simplificar

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #