Quais são as assíntotas e descontinuidades removíveis, se houver, de f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Responda:

#f (x) # tem uma assíntota horizontal # y = 0 # e uma asymptote vertical # x = 0 #

Explicação:

Dado:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• O domínio do numerador #sqrt (x) # é # 0, oo) #

• O domínio do denominador # e ^ x - 1 # é # (- oo, oo) #

• O denominador é zero quando # e ^ x = 1 #, que para valores reais de # x # só ocorre quando # x = 0 #

Daí o domínio de #f (x) # é # (0, oo) #

Usando a expansão em série de # e ^ x #, temos:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (branco) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (branco) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (branco) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Assim:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (branco) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (branco) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (branco) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

e:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

assim #f (x) # tem uma assíntota vertical # x = 0 # e uma assíntota horizontal # y = 0 #

gráfico {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6.1, 13.9, -2.92, 7.08}