Responda:
O restante da divisão #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # por # (x-k) # é #f (k) #, então resolva #f (k) = 9 # usando o teorema da raiz racional e factoring para encontrar:
#k = 1/2, -2 # ou #-3#
Explicação:
Se você tentar dividir #f (x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 + 7x + 3 # por # x-k # você acaba com um resto de #f (k) #…
Então, se o restante é #9#, estamos basicamente tentando resolver #f (k) = 9 #
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k + 3 = 9 #
Subtrair #9# de ambos os lados para obter:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = 0 #
Pelo teorema da raiz racional, qualquer raiz racional deste cúbico será da forma # p / q # em termos mais baixos, onde #p, q em ZZ #, #q! = 0 #, # p # um divisor do termo constante #-6# e # q # um divisor do coeficiente #2# do termo principal.
Isso significa que as possíveis raízes racionais são:
#+-1/2#, #+-1#, #+-3/2#, #+-2#, #+-3#, #+-6#
Vamos tentar o primeiro:
#f (1/2) = 1/4 + 9/4 + 7 / 2-6 = (1 + 9 + 14-24) / 4 = 0 #
assim #k = 1/2 # é uma raiz e # (2k-1) # é um fator.
Dividido por # (2k-1) # encontrar:
# 2k ^ 3 + 9k ^ 2 + 7k-6 = (2k-1) (k ^ 2 + 5k + 6) = (2k-1) (k + 2) (k + 3) #
Então as possíveis soluções são:
#k = 1/2 #, #k = -2 # e #k = -3 #
