Mostre que se o polinômio f (x) = ax ^ 3 + 3bx ^ 2 + 3cx + d é dividido exatamente por g (x) = ax ^ 2 + 2bx + c, então f (x) é um cubo perfeito, enquanto g (x) é um quadrado perfeito?

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Dado #f (x) # e #g (x) # Como

#f (x) = ax ^ 3 + 3bx ^ 2 + 3cx + d #

#g (x) = ax ^ 2 + 2bx + c #

e tal que #g (x) # divide #f (x) # então

#f (x) = (x + e) g (x) #

Agora agrupando coeficientes

# {(d-c e = 0), (c-b e = 0), (b-a e = 0):} #

resolvendo para #abc# nós obtemos a condição

# {(a = d / e ^ 3), (b = d / e ^ 2), (c = d / e):} #

e substituindo em #f (x) # e #g (x) #

#f (x) = (d (x + e) ^ 3) / e ^ 3 = (raiz (3) (d) (x + e) / e) ^ 3 #

#g (x) = (d (x + e) ^ 2) / e ^ 3 = (sqrt (d / e) (x + e) / e) ^ 2 #