Sejam x, y, z três números reais e distintos que satisfazem a Equação 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0, então Qual das seguintes opções estão corretas ? (a) x / y = 1/2 (b) y / z = 1/4 (c) x / y = 1/3 (d) x, y, z estão em A.P

Responda:

A resposta é (a).

Explicação:

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 # pode ser escrito como

# 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

ou # 16x ^ 2 + 4y ^ 2 + z ^ 2-8xy-2yz-4xz = 0 #

isto é # (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2 + z ^ 2-4x * 2y-2y * z-4x * z = 0 #

E se # a = 4x #, # b = 2y # e # c = z #então isso é

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca = 0 #

ou # 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca = 0 #

ou # (a ^ 2 + b ^ 2-2ab) + (b ^ 2 + c ^ 2-2bc) + (c ^ 2 + a ^ 2-2ac) = 0 #

ou # (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 = 0 #

Agora, se a soma de três quadrados é #0#, eles devem ser zero.

Conseqüentemente # a-b = 0 #, # b-c = 0 # e # c-a = 0 #

isto é # a = b = c # e no nosso caso # 4x = 2y = z = k # dizer

então # x = k / 4 #, # y = k / 2 # e # z = k #

isto é # x, y # e # z # estão em G.P, e # x / y = 2/4 = 1/2 #

# y / z = 1/2 # e, portanto, a resposta é (a).

# x, y, z # são três números reais e distintos que satisfazem a equação

Dado

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 #

# => 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

# => 16x ^ 2 + 4y ^ 2-16xy + 16x ^ 2 + z ^ 2-8xz + 4y ^ 2 + z ^ 2-4yz = 0 #

# => (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * 4x * 2y + (4x) ^ 2 + z ^ 2-2 * 4x * z + (2y) ^ 2 + z ^ 2-2 * 2y * z = 0 #

# => (4x-2y) ^ 2 + (4x-z) ^ 2 + (2y-z) ^ 2 = 0 #

Soma três quantidades reais quadradas sendo zero cada uma delas deve ser zero.

Conseqüentemente # 4x-2y = 0-> x / y = 2/4 = 1/2 para #Opção (a)

# 4x-z = 0 => 4x = z #

e

# 2y-z = 0 => 2y = z #