O que é x se log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x)?

Responda:

Nenhuma solução em # RR #.

Soluções em # CC #: #color (branco) (xxx) 2 + i cor (branco) (xxx) "e" cor (branco) (xxx) 2-i #

Explicação:

Primeiro, use a regra do logaritmo:

#log_a (x) + log_a (y) = log_a (x * y) #

Aqui, isso significa que você pode transformar sua equação da seguinte maneira:

# log_2 (3-x) + log_2 (2-x) = log_2 (1-x) #

# <=> log_2 ((3-x) (2-x)) = log_2 (1-x) #

Neste ponto, como sua base de logaritmo é #>1#, você pode "largar" o logaritmo de ambos os lados desde #log x = log y <=> x = y # para #x, y> 0 #.

Por favor, tenha cuidado que você não pode fazer tal coisa quando ainda há uma soma de logaritmos como no começo.

Então agora você tem:

# log_2 ((3-x) (2-x)) = log_2 (1-x) #

# <=> (3-x) (2-x) = 1-x #

# <=> 6 - 5x + x ^ 2 = 1 - x #

# <=> 5 - 4x + x ^ 2 = 0 #

Esta é uma equação quadrática regular que você pode resolver de várias maneiras diferentes.

Este infelizmente não tem uma solução para números reais.

#color (Azul) ("~~~~~~~~~~~~~~ adição proposta ~~~~~~~~~~~~~~~~~") #

Tony B:

#color (azul) ("Eu concordo com seus cálculos e acho que eles estão bem apresentados") #

#color (marrom) ("se eu quiser, eu gostaria de expandir um pouco sua resposta!") #

Eu concordo totalmente que não há solução para #x! = RR #

Se, por outro lado, olharmos para o potencial de #x no CC # então podemos determinar duas soluções.

Usando o formulário padrão

# ax ^ 2 + bc + c = 0 cor (branco) (xxxx) "onde" #

#x = (- b + - sqrt ((-b) ^ 2 -4ac)) / (2a) #

Nós então acabamos com:

# (+ 4 + - 2i) / 2 -> cor (branco) (xxx) 2 + i cor (branco) (xxx) "e" cor (branco) (xxx) 2-i #

Responda:

Meu entendimento implica que a questão dada precisa ser verificada. #color (marrom) ("Se" x em RR "então é indeterminado. Por outro lado, se" x notin RR ", então este pode não ser o caso.") #

Explicação:

Preâmbulo

A adição de log é a consequência da multiplicação dos números / variáveis de origem.

O sinal de igual é um #color (azul) ("matemático") # absoluto, afirmando que o que é um lado do seu tem exatamente o mesmo valor intrínseco que está do outro lado.

Ambos os lados do sinal de igual são para registrar a base 2. Suponha que tenhamos algum valor aleatório de dizer # t #. Se tivéssemos # log_2 (t) "então antilog" log_2 (t) = t # Este tipo de notação matemática é por vezes escrito como # log_2 ^ -1 (t) = t #

'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Solução para este problema:

Tome antilogs de ambos os lados dando na pergunta implica:

# (3-x) (2-x) -> (1-x) #

Isso eu acredito ser #color (vermelho) ("indeterminado") # em que o LHS não tem exatamente o mesmo valor intrínseco que o RHS. este#color (verde) ("implica") # que a questão pode precisar ser redigida de forma diferente.

#color (marrom) ("Por outro lado, pode ser o caso que" x em CC) #.

#color (marrom) ("Isso pode muito bem produzir uma resposta") #

# (3-x) (2-x) = x ^ 2 -5x +6! = (1-x) "para" x em RR #

'~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

# (3-x) (2-x) = x ^ 2 -5x +6 = (1-x) "para" x em CC #

#x = 2 + i; 2-i #