Como calcular a soma disso? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Considerando #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

mas # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # e

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # então

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Responda:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # quando # | x | <1 #

Explicação:

Começamos escrevendo alguns dos coeficientes:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

A primeira coisa que queremos analisar são os coeficientes (o grau de # x # pode ser facilmente ajustado pela multiplicação e divisão da série por # x #, então eles não são tão importantes). Nós vemos que todos eles são múltiplos de dois, então podemos trazer um fator de dois:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Os coeficientes dentro deste parênteses podem ser reconhecidos como a série binomial com um poder de # alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alfa = 1 + alfa + (alfa (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (alfa-1) (alfa-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Percebemos que os expoentes de todos os termos entre parênteses são maiores por dois em comparação com as séries que acabamos de derivar, então devemos multiplicar # x ^ 2 # para obter a série certa:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Isso significa que nossa série é (quando converge) igual a:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Apenas para verificar que não cometeu um erro, podemos usar rapidamente a série binomial para calcular uma série para # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Podemos descrever esse padrão da seguinte forma:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Desde o primeiro termo é apenas #0#, nós podemos escrever:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

qual é a série com a qual começamos, verificando nosso resultado.

Agora só precisamos descobrir o intervalo de convergência, para ver quando a série realmente tem um valor. Podemos fazer isso observando as condições de convergência para a série binomial e descobrir que a série converge quando # | x | <1 #