Por favor ajude a resolver isso, eu não posso chegar a uma solução. A questão é encontrar f? Dado f: (0, + oo) -> RR com f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x in (0, + oo)

Responda:

#f (x) = lnx + 1 #

Explicação:

Nós dividimos a desigualdade em 2 partes:

#f (x) -1> = lnx # #-># (1)

#f (x / e) <= lnx ##-># (2)

Vamos olhar para (1):

Nós nos reorganizamos para obter #f (x)> = lnx + 1 #

Vamos olhar para (2):

Nós presumimos # y = x / e # e # x = ye #. Nós ainda satisfazemos a condição #y em (0, + oo) #.#f (x / e) <= lnx #

#f (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

#f (y) <= lny + 1 #

#y inx # assim #f (y) = f (x) #.

Dos 2 resultados, #f (x) = lnx + 1 #

Responda:

Suponha que um formulário use os limites.

Explicação:

Com base no fato de que vemos que os limites f (x) ln (x), podemos assumir que a função é uma forma de ln (x). Vamos assumir uma forma geral:

#f (x) = Aln (x) + b #

Conectando as condições, isso significa

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

Nós podemos subtrair #Aln (x) + b # da equação inteira para encontrar

# - A le (1-A) ln x - b le - 1 #

Lançando,

# 1 le (A-1) lnx + b le A #

Se queremos que isso seja verdade para todo x, vemos que o limite superior é uma constante e #ln (x) # é ilimitado, esse termo claramente deve ser 0. Portanto, A = 1, deixando-nos com

# 1 le b le 1 implica b = 1 #

Então nós temos apenas a solução com #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #