Como você encontra a área de um paralelogramo com vértices?

Responda:

Para paralelogramo # ABCD # a área é

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Explicação:

Vamos supor que nosso paralelogramo # ABCD # é definido pelas coordenadas de seus quatro vértices - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Para determinar a área do nosso paralelogramo, precisamos do comprimento de sua base # | AB | # e a altitude # | DH | # do vértice # D # apontar # H # ao lado # AB # (isso é, #DH_ | _AB #).

Primeiro de tudo, para simplificar a tarefa, vamos movê-lo para uma posição quando o seu vértice #UMA# coincide com a origem das coordenadas. A área será a mesma, mas os cálculos serão mais fáceis.

Então, vamos realizar a seguinte transformação de coordenadas:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Então o (# U, V #) coordenadas de todos os vértices serão:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Nosso paralelogramo agora é definido por dois vetores:

# p = (U_B, V_B) # e # q = (U_D, V_D) #

Determinar o comprimento da base # AB # como o comprimento do vetor # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

O comprimento da altitude # | DH | # pode ser expresso como # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

O comprimento #DE ANÚNCIOS# é o comprimento do vetor # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Ângulo #/_MAU# pode ser determinado usando duas expressões para o produto escalar (ponto) de vetores # p # e # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

do qual

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U + D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Agora sabemos todos os componentes para calcular a área:

Base # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Altitude # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

A área é o seu produto:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Em termos de coordenadas originais, é assim:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

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outra discussão

Explicação:

Prova geométrica

Considerando a figura

Podemos facilmente estabelecer a fórmula para o cálculo da área de um paralelogramo ABCD, quando quaisquer três vértices (digamos A, B, D) são conhecidos.

Desde diagonal BD bissecta o paralelogramo em dois triângulo congruente.

A área do paralelogramo ABCD

= 2 área do triângulo ABD

= 2 área de trapézio BAPQ + área de armadilha BQRD - área de armadilha DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (QB + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + cancelar (Y_BX_B) -cancelar (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + cancelar (Y_DX_D) -cancelar (Y_BX_B) -Y_AX_D-cancelar (Y_DX_D) + cancelar (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Esta fórmula fornecerá a área do paralelogramo.

Prova considerando vetor

Também pode ser estabelecido considerando #vec (AB) # e# vec (AD) #

Agora

Vetor de posição do ponto A, a origem O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Vetor de posição do ponto B, a origem O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Vetor de posição do ponto D w r, t a origem O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Agora

Área do paralelogramo ABCD

# = Base (AD) * Altura (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Novamente

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) chapéuj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Area = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + cancelar (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-cancelar (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Assim, temos a mesma fórmula