Por que temos que usar "combinações de n coisas tomadas x de cada vez" quando calculamos as probabilidades binomiais?

Por que temos que usar "combinações de n coisas tomadas x de cada vez" quando calculamos as probabilidades binomiais?
Anonim

Responda:

Veja abaixo em meus pensamentos:

Explicação:

A forma geral para uma probabilidade binomial é:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (nk)) #

A questão é: por que precisamos desse primeiro termo, o termo de combinação?

Vamos trabalhar um exemplo e então isso ficará claro.

Vamos ver a probabilidade binomial de jogar uma moeda 3 vezes. Vamos definir ficando cabeças para ser # p # e de não ter cabeças # ~ p # (ambos #=1/2)#.

Quando passamos pelo processo de somatório, os 4 termos do somatório serão iguais a 1 (em essência, estamos encontrando todos os resultados possíveis e, assim, a probabilidade de todos os resultados somados é 1):

#sum_ (k = 0) ^ (3) = cor (vermelho) (C_ (3,0) (1/2) ^ 0 ((1/2) ^ (3))) + cor (azul) (C_ (3,1) (1/2) ^ 1 ((1/2) ^ (2))) + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 ((1/2) ^ (1)) + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 ((1/2) ^ (0)) #

Então, vamos falar sobre o termo vermelho e o termo azul.

O termo vermelho descreve os resultados de obter 3 caudas. Há apenas uma maneira de conseguir isso e, portanto, temos uma combinação igual a 1.

Note que o último termo, o que descreve a obtenção de todas as cabeças, também tem uma combinação que é igual a 1, porque, novamente, existe apenas uma maneira de alcançá-lo.

O termo azul descreve os resultados de obter 2 caudas e 1 cabeça. Existem 3 maneiras que podem acontecer: TTH, THT, HTT. E então nós temos uma combinação que é igual a 3.

Observe que o terceiro termo descreve a obtenção de 1 coroa e 2 cabeças e, novamente, há 3 maneiras de conseguir isso e, portanto, a combinação é igual a 3.

De fato, em qualquer distribuição binomial, temos que encontrar a probabilidade de um único tipo de evento, como a probabilidade de atingir 2 cabeças e 1 coroa, e então multiplicá-lo pelo número de maneiras que ele pode ser alcançado. Como não nos importamos com a ordem em que os resultados são alcançados, usamos uma fórmula de combinação (e não, digamos, uma fórmula de permutação).