Como escolher dois números para os quais a soma de suas raízes quadradas é mínima, sabendo que o produto dos dois números é um?

Responda:

# x = y = sqrt (a) #

Explicação:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "é mínimo" #

# "Poderíamos trabalhar com o multiplicador de Lagrange L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Derivando rendimentos:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(depois de multiplicar por x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MÍNIMO" #

# "Agora ainda temos que verificar x = 0." #

# "Isto é impossível como x * y = 0 então." #

# "Então nós temos a solução única" #

# x = y = sqrt (a) #

Responda:

Vou tentar levar você pelo método da solução abaixo.

Explicação:

O que você está procurando?

Dois números. Vamos dar-lhes nomes # x # e # y #.

Releia a pergunta.

Queremos tornar a soma das raízes quadradas mínima.

Isso nos diz duas coisas

(1) ambos os números são não negativos (para evitar imaginários)

(2) Estamos interessados no valor de # sqrtx + sqrty #

Releia a pergunta.

Também nos é dito que o produto de # x # e # y # é #uma#.

Quem escolhe #uma#?

Em geral, se um exercício diz algo sobre #uma# ou # b # ou # c #, tomamos essas como constantes dadas por outra pessoa.

Então, podemos dizer "o produto de # x # e # y # é #11#'

ou "o produto de # x # e # y # é #124#'.

Devemos resolver tudo isso de uma só vez dizendo # xy = a # por alguma constante #uma#.

Então, nós queremos fazer # sqrtx + sqrty # o menor possível mantendo # xy = a # por alguma constante #uma#.

Isso parece um problema de otimização e é um deles. Então eu quero uma função de uma variável para minimizar.

# sqrtx + sqrty # tem duas variáveis, # x # e # y #

# xy = a # também tem duas variáveis, # x # e # y # (lembrar #uma# é uma constante)

assim #y = a / x #

Agora queremos minimizar:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Encontre a derivada, depois o (s) número (s) crítico (s) e teste o (s) número (s) crítico (s). Termine de encontrar # y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Crítico # sqrta #

#f '(x) <0 # para #x <sqrta # e #f '(x)> 0 # para #x> sqrta #, assim #f (sqrta) # é um mínimo.

#x = sqrta # e #y = a / x = sqrta #

Responda:

# 2 raiz (4) (a) #

Explicação:

Sabemos que por #x_i> 0 # temos

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

então

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # então

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 raiz (4) (x_1x_2) #

mas # x_1x_2 = a # então

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 raiz (4) (a) #