Como você avalia a integral de int (dt) / (t-4) ^ 2 de 1 a 5?

Responda:

Substituto # x = t-4 #

A resposta é, se você é realmente solicitado a encontrar apenas a integral:

#-4/3#

Se você procurar a área, não é tão simples assim.

Explicação:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Conjunto:

# t-4 = x #

Portanto o diferencial:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

E os limites:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Agora substitua esses três valores encontrados:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

NOTA: NÃO LEIA ISTO SE VOCÊ NÃO FOI ENCONTRADO COMO ENCONTRAR A ÁREA. Embora isto realmente represente a área entre os dois limites e desde que seja sempre positivo, deveria ter sido positivo. No entanto, esta função é não contínuo a # x = 4 # então essa integral não representa a área, se é isso que você queria. É um pouco mais complicado.

Responda:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Explicação:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Responda:

Dependendo da integração que você aprendeu, a "melhor" resposta será: "a integral não está definida" (ainda) ou "a integral diverge"

Explicação:

Quando tentamos avaliar # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, devemos verificar que o integrando é definido no intervalo sobre o qual estamos integrando.

# 1 / (x-4) ^ 2 # não está definido em #4#, então é não definido em todo o intervalo #1,5#.

No início do estudo de cálculo, definimos a integral começando com

"Deixei # f # ser definir no intervalo # a, b #… '

Então, no início de nosso estudo, a melhor resposta é que

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# não está definido (ainda?)

Mais tarde estendemos a definição para o que é chamado de "integrais impróprias"

Estes incluem integrais em intervalos ilimitados (# (- oo, b #, # a, oo) # e # (- oo, oo) #) e também intervalos nos quais o integrando possui pontos onde não está definido.

Para (tentar) avaliar # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, avaliamos as duas integrais impróprias # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Note que o integrando ainda não está definido nestes fechadas intervalos.)

O método é substituir o ponto em que o integrando é indefinido por uma variável e, em seguida, tomar um limite à medida que essa variável se aproxima do número.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Vamos encontrar a integral primeiro:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Procurando pelo limite como # brarr4 ^ - #, vemos que o limite não existe. (Como # brarr4 ^ - #, o valor de # -1 / (b-4) # aumenta sem limite.)

Portanto, a integral sobre #1,4# não existe assim a integral sobre #1,5# não existe.

Dizemos que a integral diverge.

Nota

Alguns diriam: agora temos um definição da integral, simplesmente não existe nenhum número que satisfaça a definição.